4229. Даны точки A(0;0)
, B(4;0)
и C(0;6)
. Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13
.
Решение. Поскольку абсциссы точек A
и C
равны 0, эти точки лежат на прямой x=0
, т. е. на оси OY
. Поскольку ординаты точек A
и B
равны 0, эти точки лежат на прямой y=0
, т. е. на оси OY
. Значит, треугольник ABC
— прямоугольный, \angle BAC=90^{\circ}
. Поэтому центр его описанной окружности совпадает с серединой M(x_{0};y_{0})
гипотенузы BC
, а радиус R
равен половине гипотенузы.
По формулам для координат середины отрезка находим, что
x_{0}=\frac{4+0}{2}=2,~y_{0}=\frac{0+6}{2}=3.
По формуле для расстояния между двумя точками
BC=\sqrt{(0-4)^{2}+(6-0)^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.
Поэтому R=\frac{1}{2}BC=\sqrt{13}
.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13.