4239. Даны точки A(-6;-1)
, B(1;2)
и C(-3;-2)
. Найдите координаты вершины M
параллелограмма ABMC
.
Ответ. M(4;1)
.
Решение. Первый способ. Координаты середины K(x_{0};y_{0})
диагонали BC
параллелограмма ABMC
есть средние арифметические соответствующих координат концов отрезка BC
, т. е.
x_{0}=\frac{1-3}{2}=-1,~y_{0}=\frac{2-2}{2}=0.
Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то K(x_{0};y_{0})
— середина отрезка с концами в точках A(-6;-1)
и M(x_{1};y_{1})
. Поэтому
x_{0}=\frac{-6+x_{1}}{2}=-1,~y_{0}=\frac{-1+y_{1}}{2}=0.
Отсюда находим, что x_{1}=4,~y_{1}=1
.
Второй способ. Пусть x_{1}
, y_{1}
— координаты точки M
. Если ABMC
— параллелограмм, то \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}
, а так как
\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{(x_{1}-1;y_{1}-2)},~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{(-3-(-6);-2-(-1)}=\overrightarrow{(3;1)},
то
x_{1}-1=3,~y_{1}-2=-1.
Отсюда находим, что x_{1}=4,~y_{1}=1
.