4240. Даны точки A(-1;3)
, B(1;-2)
, C(6;0)
и D(4;5)
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
— квадрат.
Указание. Докажите, что \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
, \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0
и AB=AD
.
Решение. Поскольку
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(1-(-1);-2-3)}=\overrightarrow{(2;-5)},~\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{(6-4);0-5)}=\overrightarrow{(2;-5)},
то AB=CD
и AB\parallel CD
. Значит, данный четырёхугольник — параллелограмм, а так как
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{(4-(-1);5-3)}=\overrightarrow{(5;2)},
то
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=2\cdot5+(-5)\cdot2=0,
то AB\perp AD
. Поэтому данный четырёхугольник — прямоугольник.
Осталось доказать, что равны его соседние стороны. Действительно, по формуле для расстояния между двумя точками
AD=\sqrt{(4-(-1))^{2}+(5-3)^{2}}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29},
AB=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(-2-3)^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
Что и требовалось доказать.