4252. Точка M
лежит на прямой 3x-4y+34=0
, а точка N
— на окружности x^{2}+y^{2}-8x+2y-8=0
. Найдите наименьшее расстояние между точками M
и N
.
Ответ. 5.
Решение. Заметим, что
x^{2}+y^{2}-8x+2y-8=0~\Leftrightarrow~x^{2}-8x+16+y^{2}+2y+1=25~\Leftrightarrow~(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=5^{2}.
Значит, центр окружности — точка Q(4;-1)
, а радиус равен 5.
Пусть d
— расстояние от точки Q
до прямой 3x-4y+34=0
. Тогда
d=\frac{|3\cdot4-4\cdot(-1)+34|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{50}{5}=10\gt5.
Значит, все точки данной прямой лежат вне данной окружности. Поэтому для каждой точки M
данной прямой и каждой точки N
данной окружности
MN\gt MQ-QN=MQ-5\gt d-5=10-5=5,
причём это расстояние равно 5, если M
— проекция точки Q
на данную прямую.