4257. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его высот, делённому на синус угла между ними, т. е.
S=\frac{h_{a}h_{b}}{\sin\gamma},
где h_{a}
и h_{b}
— высоты, опущенные на соседние стороны, равные a
и b
, а \gamma
— угол между этими сторонами.
Решение. Пусть BM=h_{b}
и DN=h_{a}
— высоты параллелограмма ABCD
, опущенные на стороны AD
и AB
соответственно, AB=a
и AD=b
— стороны параллелограмма, \gamma
— угол между прямыми BM
и DN
. Тогда угол между прямыми AB
и AD
также равен \gamma
. Из прямоугольных треугольников AND
и BMA
находим, что
b=AD=\frac{DN}{\sin\angle BAD}=\frac{h_{a}}{\sin\gamma},~a=AB=\frac{BM}{\sin\angle BAD}=\frac{h_{b}}{\sin\gamma}.
Следовательно,
S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD=ab\sin\gamma=\frac{h_{b}}{\sin\gamma}\cdot\frac{h_{a}}{\sin\gamma}\cdot\sin\gamma=\frac{h_{a}h_{b}}{\sin\gamma}.