4265. Докажите, что для произвольного треугольника справедливо неравенство R\cdot P\geqslant4S
, где R
— радиус окружности, описанной около треугольника, P
и S
— периметр и площадь треугольника.
Указание. Через вершины треугольника проведите прямые, параллельные его противолежащим сторонам.
Решение. Через вершины треугольника ABC
проведём прямые, параллельные его противолежащим сторонам. Получим треугольник A'B'C'
, для которого стороны треугольника ABC
являются средними линиями (AB\parallel A'B'
, BC\parallel B'C'
, AC\parallel A'C'
). Тогда
S_{\triangle A'B'C'}=4\cdot S_{\triangle ABC}=4S,~A'B'=2AB,~B'C'=2BC,~A'C'=2AC.
Соединим центр O
описанной окружности треугольника ABC
с вершинами треугольника A'B'C'
. В каждом из треугольников A'OB'
, B'OC'
и A'OC'
высоты, проведённые из вершины O
не больше, чем OC
, OA
и OB
соответственно. Следовательно,
4S=S_{\triangle A'B'C'}=S_{\triangle A'OB'}+S_{\triangle B'OC'}+S_{\triangle A'OC'}\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}A'B'\cdot OC+\frac{1}{2}B'C'\cdot OA+\frac{1}{2}A'C'\cdot OB=
=\frac{1}{2}(2AB\cdot R+2BC\cdot R+2AC\cdot R)=R\cdot P.