4268. Неравенство треугольника. Докажите, что сумма двух любых сторон треугольника больше третьей.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник. На продолжении стороны BC
за точку C
отложим отрезок CA_{1}
, равный AC
. Поскольку треугольник ACA_{1}
равнобедренный, а луч AC
лежит между сторонами угла BAA_{1}
(луч AC
пересекает отрезок A_{1}B
с концами на сторонах этого угла), то
\angle AA_{1}C=\angle CAA_{1}\lt\angle BAA_{1},
а так как в треугольнике AA_{1}B
против большего угла BAA_{1}
лежит большая сторона BA_{1}
, то
AC+BC=A_{1}C+BC=BA_{1}\gt AB.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Из доказанного утверждения также следует, что каждая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон.