4282. На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого — с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?
Ответ. Один раз.
Указание. С помощью векторов докажите, что при любом разбиении данных шести точек на тройки середина отрезка с концами в точках пересечения медиан треугольников — одна и та же точка. Далее примените гомотетию.
Можно также воспользоваться следующим равенством:
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC},~
где O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, H
— ортоцентр треугольника.
Решение. Первый способ. Если ABCDEF
— произвольный шестиугольник, M
и N
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и DEF
, K
— середина отрезка MN
, а X
— произвольная точка, то
\overrightarrow{XK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{XN})=
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC})+\frac{1}{3}(\overrightarrow{XD}+\overrightarrow{XE}+\overrightarrow{XF})\right)=
=\frac{1}{6}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}+\overrightarrow{XD}+\overrightarrow{XE}+\overrightarrow{XF})
(см. задачи 4500 и 4505).
Это означает, что при любом разбиении вершин шестиугольника на тройки середина отрезка, соединяющего точки пересечения медиан таких треугольников, одна и та же.
Рассмотрим одно такое разбиение: ABC
и DEF
(см.рисунок). По условию задачи все 6 точек лежат на окружности. Пусть O
— её центр. При гомотетии с центром в точке M
и коэффициентом -2
центр O
описанной окружности треугольника ABC
переходит в точку P
пересечения высот этого треугольника. При гомотетии с центром в точке N
и коэффициентом -2
центр O
описанной окружности треугольника DEF
переходит в точку Q
пересечения высот этого треугольника.
Отсюда следует, что середина H
отрезка PQ
есть образ середины K
отрезка MN
при гомотетии с центром O
и коэффициентом 2. Поэтому точка H
не зависит от разбиения данных шести точек на две тройки.
Таким образом, на дно озера достаточно опуститься один раз.
Второй способ. Пусть ABCDEF
— произвольный шестиугольник, вписанный в окружность с центром O
, H_{1}
и H_{2}
— ортоцентры треугольников ABC
и DEF
соответственно, P
— середина отрезка H_{1}H_{2}
. Тогда (см. задачу 4516)
\overrightarrow{OH_{1}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC},~\overrightarrow{OH_{2}}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF},
\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OH_{1}}+\overrightarrow{OH_{2}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}).
Из последнего равенства следует, что положение точки P
не зависит от разбиении вершин шестиугольника на две тройки. Значит, на дно озера достаточно опуститься один раз.