4283. Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.
Указание. Рассмотрите гомотетию данного треугольника с центром в точке пересечения его медиан и коэффициентом \frac{1}{2}
.
Решение. При гомотетии с центром в точке M
пересечения медиан треугольника ABC
и коэффициентом -\frac{1}{2}
треугольник ABC
переходит в треугольник A'B'C'
с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
. При этом прямые, содержащие биссектрисы треугольника ABC
, переходят в параллельные им прямые, проходящие через середины сторон треугольника ABC
. Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то их образы при рассматриваемой гомотетии также пересекаются в одной точке.
Примечание. Заметим, что полученная точка пересечения — это центр окружности, вписанной в треугольник A'B'C'
. Эта точка лежит на прямой, проходящей через точку M
пересечения медиан треугольника ABC
и центр его вписанной окружности.