4284. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
Указание. Примените теорему Чевы (см. задачу 1621).
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=a
. Пусть A'
, B'
, C'
— точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC
, AC
, AB
соответственно, K
— точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB
, p
— полупериметр треугольника.
Тогда
BA'=BK=AK-AB=p-c
(см. задачу 4805). Аналогично
A'C=p-b,~CB'=p-a,~B'A=p-c,~AC'=p-b,~C'B=p-a.
Поэтому
\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=\frac{p-b}{p-a}\cdot\frac{p-c}{p-b}\cdot\frac{p-a}{p-c}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) отрезки AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в одной точке.