4286. Пусть S'
— окружность, гомотетичная с коэффициентом \frac{1}{2}
вписанной окружности s
треугольника относительно точки Нагеля, а S
— окружность, гомотетичная окружности s
с коэффициентом -\frac{1}{2}
относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:
а) окружности S
и S'
совпадают;
б) окружность S
касается средних линий треугольника;
в) окружность S'
касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.
Указание. См. задачу 4550.
Решение. а) Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, M
— точка пересечения медиан, N
— точка Нагеля. Центр I'
окружности S'
— середина отрезка IN
, а радиус вдвое меньше радиуса окружности s
.
Точки I
, M
и N
лежат на одной прямой, причём точка M
лежит между I
и N
, MN:MI=2:1
(см. задачу 4550). Радиус окружности S
также вдвое меньше радиуса окружности s
. Центр I''
окружности S
лежит на на продолжении отрезка MI
за точку M
(а значит, на отрезке IN
), причём MI''=\frac{1}{2}MI=\frac{1}{6}IN
. Значит,
II''=IM+MI''=\frac{1}{3}IN+\frac{1}{6}IN=\frac{1}{2}IN,
поэтому I''
— середина IN
, и точка I''
совпадает с I'
. Следовательно, окружности S'
и S
совпадают.
б) Пусть B_{1}
и C_{1}
— середины сторон AC
и AB
соответственно. При гомотетии с центром M
и коэффициентом -\frac{1}{2}
точки B
и C
переходят в точки B_{1}
и C_{1}
, а окружность s
— в окружность S
, следовательно, касательная BC
к окружности s
переходит в касательную B_{1}C_{1}
к окружности S
. Аналогично для остальных средних линий треугольника ABC
.
в) Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины отрезков NA
, NB
и NC
соответственно. При гомотетии с центром N
и коэффициентом \frac{1}{2}
точки A
, B
и C
переходят в точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
, а окружность s
— в окружность S'
, следовательно, окружность s
, вписанная в треугольник ABC
, переходит в окружность, вписанную в треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
. Эта окружность гомотетична окружности s
относительно точки N
с коэффициентом \frac{1}{2}
, а значит, совпадает с S'
. Следовательно, окружность S'
касается прямых A_{2}B_{2}
, A_{2}C_{2}
и B_{2}C_{2}
. Что и требовалось доказать.