4299. Квадрат ABCD
и окружность \Omega
пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF
, BGH
, CIJ
, DKL
(EF
, GH
, IJ
, KL
— дуги окружности). Докажите, что
а) сумма длин дуг EF
и IJ
равна сумме длин дуг GH
и KL
;
б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF
и CIJ
равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH
и DKL
.
Указание. Проведите два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, параллельных соседним сторонам квадрата.
Решение. а) Проведём два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, параллельных сторонам AB
и BC
квадрата. Эти диаметры делят дуги окружности, лежащие вне квадрата, пополам, так как они делят пополам хорды, стягивающие эти дуги. Поэтому сумма дуг EF
и IJ
получается так: нужно из двух противоположных четвертей окружности выкинуть половинки дуг, лежащих вне квадрата. Точно так же для суммы дуг GH
и KL
.
б) Поскольку проведённые диаметры делят пополам хорды окружности, высекаемые на сторонах квадрата, то в каждой из пар вертикальных углов, образованных этими диаметрами, лежат отрезки, сумма длин которых равна половине периметра квадрата. Следовательно, суммы прямолинейных сторон соответствующих пар треугольников равны.