4327. На дуге AC
описанной окружности правильного треугольника ABC
взята точка M
, отличная от C
, P
— середина этой дуги. Пусть N
— середина хорды BM
, K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
на MC
. Докажите, что треугольник ANK
— правильный.
Указание. Рассмотрите поворот на угол 60^{\circ}
вокруг точки A
.
Решение. При повороте на угол 60^{\circ}
вокруг точки A
точка C
переходит в точку B
, середина P
дуги AC
— в центр O
описанной окружности треугольника ABC
, луч CM
— в луч BM
(так как \angle ABM=\angle ACM
), прямая PK
, перпендикулярная MC
, — в прямую, проходящую через точку O
перпендикулярно BM
.
Поскольку перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду BM
, проходит через её середину N
, то точка K
при рассматриваемом повороте переходит в точку N
.
Таким образом, при повороте на угол 60^{\circ}
вокруг точки A
точка K
переходит в точку N
. Следовательно, треугольник ANK
— равносторонний.