4329. На окружности даны точки K
и L
. Постройте такой треугольник ABC
, что KL
является его средней линией, параллельной AB
, и при этом точка C
и точка пересечения медиан треугольника ABC
лежат на данной окружности.
Решение. Первый способ. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть G
— точка точка пересечения его медиан, N
— точка пересечения медианы CP
и средней линии KL
. Тогда
CN=\frac{1}{2}CP,~CG=\frac{2}{3}CP,
NG=CG-CN=\frac{2}{3}CP-\frac{1}{2}CP=\frac{1}{6}CP=\frac{1}{3}CN.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
CN\cdot NG=LN\cdot NK~\Rightarrow\frac{1}{3}CN^{2}=\frac{1}{4}KL^{2}~\Rightarrow CN=\frac{\sqrt{3}}{2}KL.
Следовательно, C
есть точка пересечения данной окружности с окружностью радиуса \frac{\sqrt{3}}{2}KL
с центром N
.
Второй способ. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть G
— точка точка пересечения его медиан, N
— точка пересечения медианы CP
и средней линии KL
. Тогда N
— середина KL
и CN=3NG
.
Точка C
получается из точки G
гомотетией с центром в середине N
данного отрезка KL
и коэффициентом -3
, т. е. лежит на пересечении данной окружности и окружности, полученной из неё указанной гомотетией.