4332. Дана фиксированная хорда MN
окружности, не являющаяся диаметром. Для каждого диаметра AB
этой окружности, у которого точка A
отлична от M
и точка B
отлична от N
, рассмотрим точку C
, в которой пересекаются прямые AM
и BN
, и проведём через неё прямую l
, перпендикулярную AB
. Докажите, что все прямые l
проходят через одну точку.
Решение. Рассмотрим сначала диаметр AB
, не проходящий через точки M
и N
. Пусть O
— центр окружности, D
— точка пересечения AN
и BM
.
Поскольку из точек M
и N
диаметр AB
виден под прямым углом, то AN
и BM
— высоты треугольника ABC
, а так как высоты треугольника пересекаются в одной точке, то CD\perp AB
. Значит, CD
— одна из прямых l
.
Из точек M
и N
отрезок CD
виден под прямым углом, поэтому CD
— диаметр окружности, проходящей через эти точки. Пусть P
— центр этой окружности.
Поскольку прямая MN
проходит через основания высот AN
и BM
треугольника ABC
, то \angle CNM=\angle CAB
. Кроме того, треугольники AOM
и DPM
— равнобедренные. Поэтому
\angle OMA=\angle MAB=\angle MNC=\angle MDC=\angle PMD.
Тогда
\angle PMO=\angle PMA-\angle OMA=\angle PMA-\angle PMD=\angle AMD=90^{\circ}.
Аналогично докажем, что \angle PNO=90^{\circ}
.
Значит, прямые PM
и PN
— касательные к окружности с центром O
. Таким образом, точка P
есть точка пересечения касательных, проведённых к данной окружности в точках M
и N
. Эта точка не зависит от выбора диаметра AB
. Через неё и проходят все прямые l
.
Если же точка A
совпадает с N
или B
— с M
, то прямая l
является касательной к окружности в точке N
или M
соответственно, так что и эти две прямые проходят через точку P
.