4353. Заданы две непересекающиеся окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
и их общая внешняя касательная, касающаяся окружностей соответственно в точках A_{1}
и A_{2}
. Пусть B_{1}
и B_{2}
— точки пересечения отрезка O_{1}O_{2}
с соответствующими окружностями, а C
— точка пересечения прямых A_{1}B_{1}
и A_{2}B_{2}
. Докажите, что прямая, проведённая через точку C
перпендикулярно B_{1}B_{2}
, делит отрезок A_{1}A_{2}
пополам.
Решение. Пусть D
— точка пересечения указанного в условии перпендикуляра с отрезком A_{1}A_{2}
. Положим \angle A_{1}O_{1}B_{1}=2\alpha
. Поскольку треугольники A_{1}O_{1}B_{1}
и A_{2}O_{2}B_{2}
— равнобедренные, а O_{1}A_{2}\parallel O_{2}A_{2}
, то
\angle CB_{1}B_{2}=\angle A_{1}B_{1}O_{1}=90^{\circ}-\alpha,~\angle A_{2}O_{2}B_{2}=180^{\circ}-2\alpha,~\angle CB_{2}B_{1}=\angle A_{2}B_{2}O_{2}=\alpha.
Значит, треугольник B_{1}CB_{2}
— прямоугольный. Его высота, проведённая из вершины прямого угла C
, лежит на прямой CD
. Поэтому
\angle DCA_{1}=\angle CB_{2}B_{1}=\alpha=\angle DA_{1}C.
Следовательно, треугольник CDA_{1}
— равнобедренный. Аналогично докажем, что треугольник CDA_{2}
— также равнобедренный. Таким образом,
DA_{1}=DC=DA_{2},
т. е. D
— середина отрезка A_{1}A_{2}
.