4355. Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности?
Ответ. 45^{\circ}
.
Указание. Центр вписанной окружности равноудалён от вершины прямого угла треугольника и от концов указанной в условии проекции.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр окружности радиуса r
, вписанной в прямоугольный треугольник ABC
; P
, Q
и T
— точки касания этой окружности соответственно с катетами AC
, BC
и гипотенузой AB
; MN
— проекция окружности на гипотенузу (рис. 1).
Поскольку CPOQ
— квадрат со стороной r
, то OC=r\sqrt{2}
. Аналогично находим, что OM=ON=r\sqrt{2}
. Значит, точки C
, M
и N
лежат на окружности с центром O
и радиусом r\sqrt{2}
.
Поскольку MON
— центральный угол этой окружности, а MCN
— вписанный, то
\angle MCN=\frac{1}{2}\angle MON=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Второй способ. Через точки M
и N
проведём касательные к окружности, не совпадающие с прямой AB
(рис. 2). Пусть X
и Y
— точки их касания с окружностью, а F
и G
— точки их пересечения с катетами AC
и BC
соответственно. Тогда
CF=CP+PF=r+PF=r+FX=MX+FX=MF.
Значит, треугольник CFM
— равнобедренный. Аналогично, CG=NG
, т. е. треугольник CNG
— также равнобедренный.
Проведём высоту CH
треугольника ABC
. Тогда MF\parallel CH
и NG\parallel CH
, поэтому
\angle HCM=\angle CMF=\angle MCF,~\angle HCN=\angle CNG=\angle NCG.
Следовательно,
\angle MCN=\angle HCM+\angle HCN=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
