4359. Пусть M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Постройте прямую l
, удовлетворяющую следующим условиям:
l\parallel BC
;
l
пересекает треугольник ABC
;
отрезок прямой l
, заключённый внутри треугольника, виден из точки M
под прямым углом.
Решение. Предположим, что задача решена. Пусть прямая l
, параллельная стороне BC
треугольника ABC
, пересекает его стороны AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Тогда точка P
пересечения медианы AM
с отрезком DE
— середина DE
, поэтому MP
— медиана прямоугольного треугольника DME
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
MP=PD=PE,~\angle BMD=\angle PDM=\angle PMD.
Следовательно, MD
— биссектриса угла AMB
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим биссектрису MD
треугольника AMB
. Через точку D
проводим прямую, параллельную стороне BC
. Эта прямая пересекает сторону AC
в точке E
. Докажем, что DE
— искомая прямая.
В самом деле, пусть прямые DE
и AM
пересекаются в точке P
. Тогда P
— середина DE
и
\angle PDM=\angle EDM=\angle BMD=\angle AMD=\angle PMD.
Поэтому треугольник PMD
— равнобедренный и EP=PD=PM
, т. е. медиана MP
треугольника DME
равна половине стороны, к которой она проведена. Следовательно, \angle DME=90^{\circ}
(см. задачу 1188).