4361. AB
и CD
— отрезки, лежащие на двух сторонах угла (O
— вершина угла, A
лежит между O
и B
, C
— между O
и D
). Через середины отрезков AD
и BC
проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках M
и N
(M
, A
и B
лежат на одной стороне угла; N
, C
и D
— на другой). Докажите, что \frac{OM}{ON}=\frac{AB}{CD}
.
Указание. Достройте треугольник ACD
до параллелограмма ACDE
.
Решение. Пусть P
— середина отрезка BC
, Q
— середина AD
. На продолжении отрезка CQ
за точку Q
отложим отрезок QE
, равный CQ
. Тогда AEDC
— параллелограмм, а точка Q
— его центр.
Поскольку PQ
— средняя линия треугольника BCE
, то PQ\parallel BE
, а значит, MN\parallel BE
. Кроме того, AE\parallel ON
, поэтому треугольники ABE
и OMN
подобны. Следовательно,
\frac{OM}{ON}=\frac{AB}{AE}=\frac{AB}{CD}.