4362. В угол вписана окружность с центром O
. Через точку A
, симметричную точке O
относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки A
стороной угла — B
и C
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на биссектрисе данного угла.
Решение. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в данный угол с вершиной S
, M
— точка касания этой окружности с прямой AB
. Поскольку точка A
симметрична точке O
относительно стороны данного угла, то OA=2r
. Из прямоугольного треугольника OAM
находим, что
\frac{OM}{OA}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}.
Значит,
\angle OAM=30^{\circ},~\angle BAC=2\angle OAM=60^{\circ}.
Поскольку BO
и CO
биссектрисы углов ABC
и ACB
треугольника ABC
, то
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 1101). Пусть D
— точка, симметричная точке O
относительно прямой BC
. Тогда
\angle BDC=\angle BOC=120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}=180^{\circ}-\angle BAC.
Поэтому около четырёхугольника ABDC
можно описать окружность. Центр этой окружности лежит на серединном перпендикуляре l
к хорде AD
, а так как SD=SO=SA
и \angle DSO=\angle ASO
(в силу симметрии), то треугольник ASD
— равнобедренный, а SO
— биссектриса его угла при вершине. Следовательно, биссектриса данного в условии угла лежит на прямой l
. Таким образом, центр описанной окружности четырёхугольника ABDC
(а значит, и треугольника ABC
) лежит на этой биссектрисе.