4381. Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведённой к основанию, в отношении 4:3
, считая от вершины. Найдите площадь треугольника.
Ответ. \frac{16}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть центр O
окружности радиуса 2 лежит на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
, M
и K
— точки касания окружности с боковыми сторонами AB
и AC
соответственно.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO
— биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC
. Если отрезки CM
и AO
пересекаются в точке N
, то по условию задачи \frac{CN}{NM}=\frac{4}{3}
.
Отрезок AN
— биссектриса треугольника AMC
, поэтому \frac{AC}{AM}=\frac{CN}{NM}=\frac{4}{3}
.
Положим AC=4t
,AM=3t
. Тогда
BM=AB-AM=AC-AM=4t-3t=t,~
а так как OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла, то OM^{2}=AM\cdot BM
, или 4=3t^{2}
, откуда находим, что t=\frac{2}{\sqrt{3}}
.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle AOB}=AB\cdot OM=4t\cdot2=4\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot2=\frac{16}{\sqrt{3}}.