4391. Выпуклый четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=4
, BC=3
, CD=2
, AD=1
вписан в круг. Найдите радиус этого круга.
Ответ. \frac{\sqrt{385}}{4\sqrt{6}}
.
Решение. Обозначим \angle BAD=\alpha
. По свойству вписанного четырёхугольника \angle BCD=180^{\circ}
. Выражая квадрат диагонали BD
по теореме косинусов из треугольников ABD
и CBD
, получим равенство
1+16-2\cdot1\cdot4\cos\alpha=4+9+2\cdot2\cdot3\cos\alpha,
из которого находим, что \cos\alpha=\frac{1}{5}
. Значит,
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5},
BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}-2AD\cdot AB\cos\alpha}=\sqrt{1+16-2\cdot1\cdot4\cdot\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{77}{5}}=\frac{\sqrt{385}}{5}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около данного четырёхугольника. По теореме синусов
R=\frac{BD}{2\sin\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{385}}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{\sqrt{385}}{4\sqrt{6}}