4393. Точки K
, L
, M
, N
с координатами (-2;3)
, (1;4)
, (3;2)
, (-1;-1)
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
, DA
квадрата ABCD
. Найдите его площадь.
Ответ. 25
.
Решение. Первый способ. Пусть угловой коэффициент прямой BC
равен k\ne0
. Тогда угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой AB
равен -\frac{1}{k}
, а так как AD\parallel BC
и CD\parallel AB
, то угловые коэффициенты прямых AD
и CD
равны k
и -\frac{1}{k}
соответственно. Уравнения прямых BC
, AD
, AB
, CD
имеют вид
y-4=k(x-1),~y+1=k(x+1),~y-3=-\frac{1}{k}(x+2),~y-2=-\frac{1}{k}(x-3),
или
kx-y-k+4=0,~kx-y+k-1=0,~\frac{1}{k}x+y+\frac{2}{k}-3=0,~\frac{1}{k}x+y-\frac{3}{k}-2=0.
Расстояние между прямыми BC
и AD
равно расстоянию от точки L(1;4)
до прямой AD
, т. е.
d_{1}=\frac{|k\cdot1-4+k-1|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{|2k-5|}{\sqrt{k^{2}+1}},
Расстояние между прямыми AB
и CD
равно расстоянию от точки K(-2;3)
до прямой CD
, т. е.
d_{2}=\frac{\left|\frac{1}{k}\cdot(-2)+3-\frac{3}{k}-2\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{k}\right)^{2}+1}}=\frac{|k-5|}{\sqrt{k^{2}+1}},
а так как d_{1}=d_{2}
, то
\frac{|2k-5|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{|k-5|}{\sqrt{k^{2}+1}},~|2k-5|=|k-5|.
Таким образом, либо 2k-5=k-5
, либо 2k-5=5-k
. В первом случае k=0
, что противоречит предположению. Во втором k=\frac{10}{3}
, что также невозможно, так как в этом случае длина стороны квадрата равна \frac{5}{\sqrt{109}}
, диагональ квадрата равна
\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{109}}\lt LN=\sqrt{(1+1)^{2}+(4+1)^{2}}=\sqrt{29}.
Точки K
, L
, M
, N
лежат не на сторонах квадрата, а на их продолжениях. Следовательно, предположение о том, что k\ne0
неверно.
При k=0
стороны квадрата параллельны координатным осям. В этом случае длина стороны квадрата равна модулю разности абсцисс (или ординат) двух точек, лежащих на противоположных сторонах квадрата, т. е. 5, а площадь квадрата равна 25. Уравнения прямых, на которых лежат стороны квадрата: x=-2
, x=3
, y=-1
, y=4
. Очевидно, что точки K
, L
, M
, N
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
, DA
квадрата ABCD
.
Второй способ. Пусть L'
и M'
— проекции точек L
и M
на стороны AD
и AB
соответственно, а прямая, проходящая через точку L
перпендикулярно KM
, пересекает прямую AD
в точке P
. Прямоугольные треугольники LL'P
и MM'K
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому LP=KM
.
Пусть k_{1}
и k_{2}
— угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых KM
и LP
соответственно. Тогда
k_{1}=\frac{3-2}{-2-3}=-\frac{1}{5},~k_{2}=-\frac{1}{k_{1}}=5.
Уравнение прямой LP
имеет вид y-4=5(x-1)
, или y=5x-1
. Эта прямая пересекает ось Oy
в точке F(0;-1)
, причём
LF=\sqrt{(0-1)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{26},~KM=\sqrt{(3+2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{26},
т. е. LF=KM
. Это значит, что точка F
совпадает с P
.
Таким образом, точки P
и N
, имеющие одинаковые ординаты, лежат на прямой AD
. Следовательно, прямая AD
параллельна оси Ox
, длина стороны квадрата ABCD
равна расстоянию от точки L
до этой прямой, т. е. 5, а площадь квадрата равна 25.