4395. В прямоугольном треугольнике ADC
гипотенуза DC
является хордой окружности радиуса 1, которая пересекает катеты AD
и AC
в точках E
и B
соответственно. Найдите DB
, если \angle DBE=30^{\circ}
, S_{\triangle DEC}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Вписанные в окружность углы DCE
и DBE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle DCE=\angle DBE=30^{\circ}
. Обозначим \angle ADC=\alpha\lt90^{\circ}
, R=1
— радиус окружности. По теореме синусов
DE=2R\sin\angle DCE=2R\sin30^{\circ}=2\cdot1\cdot\frac{1}{2}=1,~CE=2R\sin\alpha=2\sin\alpha.
Тогда
S_{DEC}=\frac{1}{2}DE\cdot CE\sin\angle CDE=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\sin\alpha\cdot\sin(30^{\circ}+\alpha)=\sin\alpha\sin(30^{\circ}+\alpha)=
=\frac{1}{2}(\cos30^{\circ}-\cos(2\alpha+30^{\circ}))=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos(2\alpha+30^{\circ})\right).
По условию задачи
\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos(2\alpha+30^{\circ})\right)=\frac{\sqrt{3}+1}{4},
откуда находим, что \cos(2\alpha+30^{\circ})=-\frac{1}{2}
, а так как
2\alpha+30^{\circ}\lt180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ}\lt240^{\circ},
то 2\alpha+30^{\circ}=120^{\circ}
, \alpha=45^{\circ}
. Следовательно,
BD=2R\sin BCD=2\sin45^{\circ}=\sqrt{2}.