4401. На окружности взята точка A
, на диаметре BC
— точки D
и E
, а на его продолжении за точку B
— точка F
. Найдите BC
, если \angle BAD=\angle ACD
, \angle BAF=\angle CAE
, BD=2
, BE=5
и BF=4
.
Ответ. 11.
Указание. AD
— общая высота прямоугольных треугольников BAC
и FAE
.
Решение. Обозначим \angle BAD=\angle ACD=\alpha
, \angle BAF=\angle CAE=\beta
. Поскольку точка A
лежит на окружности с диаметром BC
, то \angle BAC=90^{\circ}
. Поэтому
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ACD-\angle CAD=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
\angle FAE=\angle FAB+\angle BAE=\beta+(90^{\circ}-\beta)=90^{\circ}.
Тогда AD
— общая высота прямоугольных треугольников BAC
и FAE
. По теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла,
FD\cdot DE=AD^{2}=BD\cdot DC.
Обозначив EC=x
, получим уравнение
(4+2)3=2(3+x),
из которого находим, что x=6
. Следовательно,
BC=BE+EC=5+6=11.