4408. Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 16\sqrt{5}
.
Указание. Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную одной из диагоналей.
Решение. Пусть AC=12
и BD=6
— диагонали трапеции ABCD
, AD
и BC
— её основания, причём AD+BC=14
.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть E
— точка пересечения этой прямой с прямой AD
. Тогда BCED
— параллелограмм, DE=BC
, CE=BD=6
. Если h
— высота трапеции, то
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{AD+DE}{2}\cdot h=\frac{1}{2}AE\cdot h=S_{\triangle ACE}.
По формуле Герона
S_{\triangle ACE}=\sqrt{16(16-6)(16-12)(16-14)}=\sqrt{16\cdot10\cdot4\cdot2}=16\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACE}=16\sqrt{5}.