4437. В остроугольном треугольнике ABC
биссектриса, проведённая из вершины A
, высота, проведённая из вершины B
, и серединный перпендикуляр к стороне AB
пересекаются в одной точке. Найдите угол при вершине A
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть M
точка пересечения указанных в условии биссектрисы, высоты BH
и серединного перпендикуляра. Обозначим \angle BAM=\angle CAM=\alpha
. Поскольку точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, то
\angle ABM=\angle BAM=\alpha.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ABH
равна 90^{\circ}
, поэтому \alpha+2\alpha=90^{\circ}
. Отсюда находим, что \alpha=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=2\alpha=60^{\circ}.