4439. На сторонах AB
, BC
, CD
и DA
произвольного четырёхугольника ABCD
взяты точки K
, L
, M
и N
соответственно. Обозначим через S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
площади треугольников AKN
, BKL
, CLM
и DMN
соответственно. Докажите, что
\sqrt[{3}]{{S_{1}}}+\sqrt[{3}]{{S_{2}}}+\sqrt[{3}]{{S_{3}}}+\sqrt[{3}]{{S_{4}}}\leqslant2\sqrt[{3}]{{S_{ABCD}}}.
Решение. Обозначим
\frac{AK}{AB}=t_{1},~\frac{BL}{BC}=t_{2},~\frac{CM}{CD}=t_{3},~\frac{DN}{DA}=t_{4},~
\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{ABCD}}=s_{1},~\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{ABCD}}=s_{2}.
Тогда после деления на S_{ABCD}
доказываемое неравенство можно переписать в следующем виде:
\sqrt[{3}]{{t_{1}(1-t_{4})s_{2}}}+\sqrt[{3}]{{t_{2}(1-t_{1})(1-s_{1})}}+\sqrt[{3}]{{t_{3}(1-t_{2})(1-s_{2})}}+\sqrt[{3}]{{t_{4}(1-t_{3})s_{1}}}\leqslant2.
Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, оценим каждое из слагаемых:
\sqrt[{3}]{{t_{1}(1-t_{4})s_{2}}}+\sqrt[{3}]{{t_{2}(1-t_{1})(1-s_{1})}}+\sqrt[{3}]{{t_{3}(1-t_{2})(1-s_{2})}}+\sqrt[{3}]{{t_{4}(1-t_{3})s_{1}}}\leqslant
\leqslant\frac{1}{3}(t_{1}+(1-t_{4})+s_{2}+t_{2}+(1-t_{1})+(1-s_{1})+
+t_{3}+(1-t_{2})+(1-s_{2})+t_{4}+(1-t_{3})+s_{1})=\frac{6}{3}=2,
что и требовалось доказать.