4441. На стороне AC
равностороннего треугольника ABC
выбрана точка D
, а на стороне AB
— точка E
, причём AE=CD
; M
— середина отрезка DE
. Докажите, что AM=\frac{1}{2}BD
.
Решение. Через точку D
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекает сторону BC
в точке K
. Тогда треугольник DKC
— равносторонний, поэтому DK=DC=AE
. Значит, AEKD
— параллелограмм. Середина M
диагонали ED
— центр параллелограмма.
Из равенства треугольников BDC
и AKC
(по двум сторонам и углу между ними) следует равенство отрезков AK
и BD
. Поэтому
AM=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}BD.