4442. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, а точки H_{1}
и H_{2}
— её проекции на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B
. Докажите, что прямая H_{1}H_{2}
делит сторону AC
пополам.
Решение. Пусть AM
и CN
— высоты треугольника ABC
. Тогда точки M
, N
, A
и C
лежат на окружности, центр P
которой — середина AC
. Значит, точка P
равноудалена от концов отрезка MN
.
С другой стороны, поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, четырёхугольник HH_{2}BH_{1}
— прямоугольник. Диагонали H_{1}H_{2}
и BH
— диаметры описанной окружности прямоугольника. Эта окружность проходит через точки M
и N
, так как из этих точек диаметр BH
виден под прямым углом.
Точка H_{1}
лежит на биссектрисе вписанного угла MBN
, поэтому H_{1}
— середина дуги MN
, не содержащей точки H_{2}
, а так как H_{1}H_{2}
— диаметр окружности, то точки H_{1}
и H_{2}
также равноудалены от концов отрезка MN
.
Таким образом, точки H_{1}
, H_{2}
и середина P
отрезка AC
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку MN
. Отсюда следует утверждение задачи.
