4446. Докажите, что площадь четырёхугольника со сторонами a
, b
, c
и d
не превосходит \frac{1}{4}((a+c)^{2}+bd)
.
Решение. Известно, что если P
— периметр четырёхугольника, то его максимальная площадь равна \frac{P^{2}}{16}
(площадь квадрата со стороной \frac{P}{4}
), поэтому максимальная площадь четырёхугольника с фиксированными длинами сторон не зависит от порядка сторон.
Кроме того, известно, что площадь четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.
Пусть ABCD
— четырёхугольник со сторонами AB=a
, BC=d
, CD=c
и AD=b
. Пусть также M
и N
— середины сторон BC
и AD
соответственно, и MN=l
. Тогда
S_{ABMN}\leqslant\frac{1}{2}\left(al+\frac{bd}{4}\right),~S_{CDNM}\leqslant\frac{1}{2}\left(cl+\frac{bd}{4}\right).
Сложив почленно эти неравенства получим, что
S_{ABCD}\leqslant\frac{(a+c)l}{2}+\frac{bd}{4}.
Из векторного равенства \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})
следует неравенство l\leqslant\frac{1}{2}(a+c)
, поэтому
S_{ABCD}\leqslant\frac{(a+c)l}{2}+\frac{bd}{4}\leqslant\frac{1}{4}((a+c)^{2}+bd),
что и требовалось доказать.