4458. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и BB_{1}
. На меньшей дуге AB
описанной окружности выбрана такая точка L
, что LC=CB
. При этом оказалось, что \angle BLB_{1}=90^{\circ}
. Докажите, что высота AA_{1}
делится высотой BB_{1}
пополам.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Из равенства хорд LC
и CB
следует равенство меньших дуг LC
и BC
, поэтому
\angle BLC=\angle LBC=\angle BAC=\alpha.
Тогда
\angle LBB_{1}=\angle LBC-\angle B_{1}BC=\alpha-(90^{\circ}-\gamma)=
=\alpha+\gamma-90^{\circ}=(180^{\circ}-\beta)-90^{\circ}=90^{\circ}-\beta.
Значит,
\angle BB_{1}L=90^{\circ}-\angle LBB_{1}=90^{\circ}-(90^{\circ}-\beta)=\beta.
Из равнобедренного треугольника BLC
находим, что BL=2BC\cos\alpha
. Тогда
BC\sin\gamma=BB_{1}=\frac{BL}{\sin\beta}=\frac{2BC\cos\alpha}{\sin\beta}.
Значит, углы треугольника ABC
связаны соотношением \sin\gamma\sin\beta=2\cos\alpha
.
Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников AHB_{1}
и ABA_{1}
находим, что
AH=\frac{AB_{1}}{\sin\angle AHB_{1}}=\frac{AB_{1}}{\sin\gamma}=\frac{AB\cos\alpha}{\sin\gamma},
AA_{1}=AB\sin\beta=AB\cdot\frac{2\cos\alpha}{\sin\gamma}=2\cdot\frac{AB\cos\alpha}{\sin\gamma}=2AH.
Отсюда следует доказываемое утверждение.