4466. На диагонали BD
параллелограмма ABCD
взяты точки A'
и C'
, причём AA'\parallel CC'
. Точка K
принадлежит отрезку A'C
, прямая AK
пересекает прямую CC'
в точке L
. Через точку K
проведена прямая, параллельная BC
, через точку C
проведена прямая, параллельная BD
. Эти две прямые пересекаются в точке M
. Докажите, что точки D
, M
и L
лежат на одной прямой.
Решение. Треугольники CKM
и A'CB
подобны, так как KM\parallel BC
и CM\parallel BA'
. Из равенства треугольников ABA'
и CDC'
(по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что DC'=A'B
. Значит,
\frac{CM}{C'D}=\frac{CM}{A'B}=\frac{KC}{A'C}.
С другой стороны, из подобия треугольников A'AK
и CLK
и равенства отрезков AA'
и CC'
следует, что
\frac{LC}{KC}=\frac{AA'}{A'K}=\frac{LC+AA'}{A'K+KC}=\frac{LC+CC'}{A'K+KC}=\frac{LC'}{A'C}.
Поэтому \frac{KC}{A'C}=\frac{LC}{LC'}
. Сопоставляя это с первым из доказанных равенств, получим, что \frac{LC}{LC'}=\frac{CM}{C'D}
. Тогда треугольники CLM
и C'LD
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle MLC=\angle DLC
. Следовательно, точки D
, M
и L
лежат на одной прямой.