4472. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
выбрана точка O
, не лежащая на диагонали BD
, причём \angle ODC=\angle CAB
и \angle OBC=\angle CAD
. Докажите, что \angle ACB=\angle OCD
.
Решение. Первый способ. Пусть прямые BO
и AD
пересекаются в точке E
. Рассмотрим случай, когда точка E
лежит на отрезке AD
.
Из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой CE
, отрезок CE
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B
, C
и E
лежат на одной окружности. Тогда
\angle OEC=\angle BEC=\angle BAC=\angle ODC.
Значит, из точек E
и D
, лежащих по одну сторону от прямой OC
, отрезок OC
виден под одним и тем же углом. Поэтому четырёхугольник DEOC
— вписанный. Следовательно,
\angle OCD=180^{\circ}-\angle OED=\angle AEO=\angle AEB=\angle ACB.
Аналогично для случая, когда точка E
лежит на продолжении отрезка AD
за точку D
.
Заметим, что точка E
не может лежать на продолжении отрезка AD
за точку A
, так как точка O
лежит внутри угла ABC
, а значит, луч BE
проходит между сторонами угла ABC
.
Второй способ. Рассмотрим такую точку F
, что \angle ACB=\angle FCD
, \angle BAC=\angle FDC
. Тогда треугольники ABC
и DFC
подобны по двум углам, следовательно \frac{BC}{CF}=\frac{AC}{CD}
. Из равенства \angle BCF=\angle ACD
следует, что подобны треугольники BCF
и ACD
(по двум сторонам и углу между ними). Значит, \angle FBC=\angle DAC
, т. е. рассмотренная точка F
является, с другой стороны, пересечением лучей BO
и OD
(по условию \angle OBC=\angle DAC
и \angle ODC=\angle OAB
), т. е. точка F
совпадает с O
. Поэтому \angle ACB=\angle FCD=\angle OCD
.