4474. Высоты AA_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке H
, а описанные окружности треугольников ABC
и A_{1}BC_{1}
пересекаются в точке M
, отличной от B
. Докажите, что прямая MH
делит сторону AC
пополам.
Решение. Пусть N
— отличная от B
точка пересечения прямой MH
с описанной окружностью треугольника ABC
. Из точек C_{1}
и A_{1}
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, точка H
лежит на описанной окружности треугольника A_{1}BC_{1}
, причём BH
— диаметр этой окружности. Тогда
\angle BMN=\angle BMH=90^{\circ},
поэтому BN
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
\angle BAN=\angle BCN=90^{\circ},
а так как CH\perp AB
и AH\perp BC
, то CH\parallel AN
и AH\parallel CN
. Значит, четырёхугольник AHCN
— параллелограмм. Следовательно, его диагональ NH
(а значит, и прямая MH
) делит вторую диагональ AC
пополам.