4482. В окружности S
проведены две параллельные хорды AB
и CD
. Прямая, проведённая через точку C
и середину AB
, вторично пересекает окружность S
в точке E
. Точка K
— середина отрезка DE
. Докажите, что \angle AKE=\angle BKE
.
Решение. Пусть M
— середина AB
. Поскольку
\angle BDE=\angle BCE=\angle MCB
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а
\angle BED=\angle ABC=\angle MBC
как углы, опирающиеся на равные дуги (заключённые между параллельными хордами), то треугольники BDE
и MCB
подобны по двум углам. Тогда, если X
— середина BC
, то BK
и MX
— соответствующие медианы этих подобных треугольников. Значит,
\angle BKE=\angle MXB=\angle ACB
(MX\parallel AC
как средняя линия треугольника ABC
). Аналогично докажем, что \angle AKE=\angle ADB
, а так как \angle ADB=\angle ACB
, то \angle AKE=\angle BKE
.