4489. Пусть AF
— медиана треугольника ABC
, D
— середина отрезка AF
, E
— точка пересечения прямой CD
со стороной AB
. Оказалось, что BD=BF=CF
. Докажите, что AE=DE
.
Решение. Треугольник BDF
— равнобедренный, поэтому \angle BDF=\angle BFD
. Тогда
\angle ADB=180^{\circ}-\angle BDF=180^{\circ}-\angle BFD=\angle DFC.
Поэтому треугольники ADB
и DFC
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle EAD=\angle BAD=\angle FDC=\angle ADE.
Следовательно, треугольник AED
— равнобедренный, и AE=DE
.