4494. Точка M
— середина стороны AC
треугольника ABC
. На отрезке AM
выбрана точка K
, на отрезке BM
— точка L
, на отрезке BK
— точка N
. При этом KL\parallel AB
, MN\parallel BC
, CL=2KM
. Докажите, что CN
— биссектриса угла ACL
.
Решение. Поскольку M
— середина AM
и MN\parallel BC
, то точка N
лежит на средней линии треугольника ABC
. Значит, точка P
пересечения прямой MN
со стороной AB
— середина AB
.
Рассмотрим трапецию ABLK
. Известно, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой (см. задачу 1513). Поэтому N
— точка пересечения диагоналей трапеции ABLK
.
Треугольник ANB
подобен треугольнику LNK
, а треугольник ABM
— треугольнику KLM
, поэтому
\frac{AN}{NL}=\frac{AB}{KL}=\frac{AM}{KM}=\frac{AC}{2KM}=\frac{AC}{CL}.
Следовательно, CN
— биссектриса треугольника ACL
.