4501. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— медианы треугольника ABC
. Докажите, что \overrightarrow{AA}_{1}+\overrightarrow{BB}_{1}+\overrightarrow{CC}_{1}=\overrightarrow{0}
.
Указание. \overrightarrow{AA}_{1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})
.
Решение. Сложив почленно равенства
\overrightarrow{AA}_{1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),~\overrightarrow{BB}_{1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}),~\overrightarrow{CC}_{1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}),
получим, что
\overrightarrow{AA}_{1}+\overrightarrow{BB}_{1}+\overrightarrow{CC}_{1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.