4504. Пусть M
— середина отрезка AB
, M_{1}
— середина отрезка A_{1}B_{1}
. Докажите, что \overrightarrow{MM}_{1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}})
.
Указание. \overrightarrow{MM_{1}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}M_{1}}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}M_{1}}
.
Решение. Сложив почленно векторные равенства
\overrightarrow{MM_{1}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}M_{1}},~\overrightarrow{MM_{1}}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}M_{1}},
получим, что
2\overrightarrow{MM_{1}}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}})+(\overrightarrow{A_{1}M_{1}}+\overrightarrow{B_{1}M_{1}})=
=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}.
Следовательно,
\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}).
Примечание. Утверждение верно для любых двух отрезков в пространстве.