4547. В правильном треугольнике ABC
со стороной a
проведена средняя линия MN
параллельно AC
. Через точку A
и середину MN
проведена прямая до пересечения с BC
в точке D
. Найдите AD
.
Ответ. \frac{a\sqrt{7}}{3}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и BC
соответственно, K
— середина MN
. Через точку B
проведём прямую, параллельную стороне AC
, и продолжим отрезок AD
до пересечения с этой прямой в точке E
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ABE
, поэтому
BE=2MK=2\cdot\frac{a}{4}=\frac{a}{2}.
Из подобия треугольников BDE
и NDK
следует, что
\frac{BD}{DN}=\frac{BE}{NK}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{4}}=2,
поэтому
BD=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a}{3}.
По теореме косинусов
AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2AB\cdot BD\cos60^{\circ}=a^{2}+\frac{a^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{3}=\frac{7a^{2}}{9}.
Следовательно, AD=\frac{a\sqrt{7}}{3}
.