4553. Около окружности описана равнобочная трапеция. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания составляет \frac{3}{8}
площади трапеции. Найдите отношение оснований трапеции.
Ответ. 3.
Решение. Пусть вписанная окружность касается оснований AD=a
и BC=b
(a\gt b
) трапеции ABCD
в точках N
и L
соответственно, а боковых сторон AB
и CD
— соответственно в точках K
и M
(рис. 1). Тогда
BK=BL=LC=CM,~AK=AN=ND=DM,
поэтому
\frac{AK}{AB}=\frac{AN}{AN+BL}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}}=\frac{a}{a+b},~\frac{DM}{CD}=\frac{DN}{DN+CL}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}}=\frac{a}{a+b},
значит, KM\parallel AD
. Если O
— точка пересечения AC
и KM
, то из подобия треугольников AKO
и ABC
находим, что
KO=BC\cdot\frac{AK}{AB}=b\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.
Аналогично, MO=b\cdot\frac{a}{a+b}
. Поэтому KM=KO+OM=\frac{2ab}{a+b}
.
Пусть высота трапеции равна h
(рис. 2). Тогда
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)h=\frac{1}{2}(a+b)h,
а так как NL\perp KM
, то
S_{KLMN}=\frac{1}{2}KM\cdot LN=\frac{1}{2}\cdot\frac{2ab}{a+b}\cdot h=\frac{abh}{a+b}.
По условию задачи S_{KLMN}=\frac{3}{8}S_{ABCD}
, или
\frac{abh}{a+b}=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}(a+b)h,~\frac{ab}{a+b}=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}(a+b),~
3a^{2}-10ab+3b^{2}=0,~3\left(\frac{a}{b}\right)^{2}-10\cdot\frac{a}{b}+3=0,
откуда находим, что \frac{a}{b}=3
или \frac{a}{b}=\frac{1}{3}
, а так как a\gt b
, то \frac{a}{b}=3
.
