4557. В прямоугольном треугольнике ABC
из вершины прямого угла C
опущена высота CD
. Проекция отрезка BD
на катет BC
равна l
, а проекция отрезка AD
на катет AC
равна m
. Найдите гипотенузу AB
.
Ответ. (l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}})\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}}
.
Решение. Пусть E
— проекция точки D
на катет AC
, а F
— проекция точки D
на катет BC
. Обозначим CF=a
, CE=b
, \angle CBA=\alpha
.
Поскольку CEDF
— прямоугольник, DE=CF=a
, DF=CE=b
. Тогда
a^{2}=bm,~b^{2}=al,~\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{b}{a}\cdot\frac{m}{l},~\left(\frac{a}{b}\right)^{3}=\frac{m}{l},~\tg\alpha=\frac{a}{b}=\left(\frac{m}{l}\right)^{\frac{1}{3}},
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{m}{l}\right)^{\frac{2}{3}}}}=\frac{l^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}}},~
\sin\alpha=\tg\alpha\cos\alpha=\frac{m^{\frac{1}{3}}}{l^{\frac{1}{3}}}\cdot\frac{l^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}}}=\frac{m^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}}},
BD=\frac{l}{\cos\alpha}=l^{\frac{2}{3}}\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}},~AD=\frac{m}{\sin\alpha}=m^{\frac{2}{3}}\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}}.
Следовательно,
AB=BD+AD=l^{\frac{2}{3}}\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}}+m^{\frac{2}{3}}\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}}=(l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}})\sqrt{l^{\frac{2}{3}}+m^{\frac{2}{3}}}.