4567. В треугольнике ABC
проведены медиана AD
, биссектриса AE
и высота AF
. Площадь треугольника AED
равна \frac{1}{14}
площади треугольника ABC
, а площадь треугольника AFD
равна \frac{7}{50}
площади треугольника ABC
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=90^{\circ},~\angle B=\arccos\frac{3}{5},~\angle C=\arccos\frac{4}{5}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
(c\lt b)
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{BE}{EC}=\frac{c}{b}
. Тогда
BE=\frac{ac}{b+c},~DE=BD-BE=\frac{a}{2}-\frac{ac}{b+c}=\frac{a(b-c)}{2(b+c)}.
Из условия задачи следует, что \frac{DE}{BC}=\frac{1}{14}
, или
\frac{\frac{a(b-c)}{2(b+c)}}{a}=\frac{b-c}{2(b+c)}=\frac{1}{14},
откуда b=\frac{4}{3}c
.
Далее имеем:
FD=\frac{7}{50}BC=\frac{7}{50}a,~BF=BD-FD=\frac{a}{2}-\frac{7}{50}a=\frac{9}{25}a,
CF=CD+FD=\frac{a}{2}+\frac{7}{50}a=\frac{16}{25}a,
AB^{2}-BF^{2}=AC^{2}-CF^{2},~c^{2}-\left(\frac{9}{25}a\right)^{2}=b^{2}-\left(\frac{16}{25}a\right)^{2},
b^{2}-c^{2}=\left(\frac{16}{25}a\right)^{2}-\left(\frac{9}{25}a\right)^{2},\frac{16}{9}c^{2}-c^{2}=\left(\frac{16}{25}a-\frac{9}{25}a\right)\left(\frac{16}{25}a+\frac{9}{25}a\right),
\frac{7}{9}c^{2}=\frac{7}{25}a^{2},~a=\frac{5}{3}c.
Таким образом, стороны треугольника ABC
пропорциональны числам 3, 4, 5. Следовательно, треугольник ABC
— прямоугольный:
\angle A=90^{\circ},~\angle B=\arccos\frac{3}{5},~\angle C=\arccos\frac{4}{5}.