4569. В равнобедренном треугольнике ABC
угол при вершине B
равен \alpha
. В точке C
проведена касательная к окружности, описанной около треугольника ABC
, пересекающая продолжение биссектрисы BD
угла B
в точке E
. Найдите отношение площади треугольника CDE
к площади треугольника ABC
.
Ответ. \frac{1}{2}\tg\alpha\tg\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Обозначим CD=AD=a
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle DCE=\angle ACE=\angle ABC=\alpha.
Из прямоугольных треугольников CDE
и BCD
находим, что
DE=CD\tg\alpha=a\tg\alpha,~BD=CD\ctg\angle CBD=a\ctg\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{\frac{1}{2}CD\cdot DE}{\frac{1}{2}AC\cdot BD}=\frac{\frac{1}{2}a\cdot a\tg\alpha}{\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a\ctg\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}\tg\alpha\tg\frac{\alpha}{2}.