4573. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстояниях \sqrt{5}
и \sqrt{10}
от концов гипотенузы. Найдите катеты.
Ответ. 3 и 4.
Решение. Пусть r
— радиус окружности с центром O
, вписанной в прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB
, OA=\sqrt{5}
, OB=\sqrt{10}
.
Поскольку AO
и BO
— биссектрисы острых углов треугольника,
\angle AOB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=135^{\circ}
(см. задачу 4770).
По теореме косинусов
AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos135^{\circ}}=\sqrt{5+10+2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=5.
Высота треугольника AOB
, проведённая из вершины O
, равна r
. Выражая двумя способами площадь этого треугольника, получим, что
\frac{1}{2}\cdot5r=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},
откуда r=1
.
Пусть M
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
с катетом AC
. Тогда
MC=OM=r=1,~AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{5-1}=2.
Следовательно,
AC=AM+MC=2+1=3,~BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{25-9}=4.