4580. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна h
, разность между проекциями катетов на гипотенузу равна l
. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ. \frac{1}{2}h\sqrt{l^{2}+4h^{2}}
.
Решение. Пусть CD=h
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная из вершины прямого угла C
. Предположим, что AD\leqslant BD
. Обозначим AD=x
. Тогда
BD=x+l,~CD^{2}=AD\cdot BD,~h^{2}=x(x+l),~x^{2}+lx-h^{2}=0,
откуда
x=\frac{-l+\sqrt{l^{2}+4h^{2}}}{2},~AB=2x+l=\sqrt{l^{2}+4h^{2}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CD\cdot AB=\frac{1}{2}h\sqrt{l^{2}+4h^{2}}.