4581. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна l
, а высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. \frac{1}{2}h(\sqrt{l^{2}+h^{2}}-h)
.
Решение. Пусть CD=h
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная из вершины прямого угла C
, S
— площадь треугольника. Обозначим AC=x
, BC=y
. Тогда
AB=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+y)^{2}-2xy}=\sqrt{l^{2}-4S},
S=\frac{1}{2}CD\cdot AB=\frac{1}{2}h\sqrt{l^{2}-4S}.
Из уравнения \frac{1}{2}h\sqrt{l^{2}-4S}=S
находим, что S=\frac{1}{2}h(\sqrt{l^{2}+h^{2}}-h)
.