4583. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 10, 10 и 16.
Ответ. 64
.
Указание. Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника, равна \frac{3}{4}
площади данного треугольника.
Решение. Пусть B_{1}
— середина стороны AC=16
треугольника ABC
, M
— точка пересечения его медиан. На продолжении медианы BB_{1}
за точку B_{1}
отложим отрезок B_{1}K
, равный MB_{1}
. Тогда AMCK
— параллелограмм, CK=AM
.
Стороны треугольника KMC
составляют \frac{2}{3}
соответствующих медиан треугольника ABC
. Поэтому треугольник KMC
подобен с коэффициентом \frac{2}{3}
треугольнику, стороны которого равны медианам треугольника ABC
. Тогда площадь треугольника KMC
составляет \frac{4}{9}
площади равнобедренного треугольника со сторонами 10, 10, 16, т. е.
S_{\triangle KMC}=\frac{4}{9}\cdot48=\frac{64}{3}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=6S_{\triangle B_{1}MC}=6\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle KMC}=3\cdot\frac{64}{3}=64.
