4588. Площадь прямоугольного треугольника равна \frac{2}{3}r^{2}
, где r
— радиус окружности, касающейся одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы. Найдите стороны треугольника.
Ответ. r
, \frac{4}{3}r
, \frac{5}{3}r
.
Решение. Первый способ. Пусть окружность с центром O
касается катета BC
прямоугольного треугольника ABC
в точке D
, продолжения катета AC
— в точке E
, а продолжения гипотенузы AB
— в точке F
. Обозначим BC=a
, p
— полупериметр треугольника, S
— площадь. Тогда
AE+AF=(AC+CE)+(AB+BF)=(AC+CD)+(AB+BD)=
=AC+(CD+BD)+AB=AC+BC+AB=2p,
а так как AE=AF
, то AE=AF=p
. Кроме того,
\frac{2}{3}r^{2}=S=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle AOF}-S_{ECBF}=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle AOF}-2S_{\triangle BOC}=
=\frac{1}{2}AE\cdot OE+\frac{1}{2}AF\cdot OF-BC\cdot OD=\frac{1}{2}pr+\frac{1}{2}pr-ar=(p-a)r,
откуда p-a=\frac{2}{3}r
. Следовательно,
AB=AF-BF=AF-BD=p-(a-r)=(p-a)+r=\frac{2}{3}r+r=\frac{5}{3}r.
Поскольку четырёхугольник CDOE
— квадрат, CE=OD=r
, поэтому
AC=AE-CE=p-r=(p-a)+a-r=\frac{2}{3}r+a-r=a-\frac{1}{3}r.
По теореме Пифагора
BC^{2}+AC^{2}=AB^{2},~a^{2}+\left(a-\frac{1}{3}r\right)^{2}=\frac{25}{9}r^{2},~3a^{2}-ar-4r^{2}=0,
откуда находим, что BC=a=\frac{4}{3}r
. Тогда
AC=a-\frac{1}{3}r=\frac{4}{3}r-\frac{1}{3}r=r.
Второй способ. Пусть вписанная окружность с центром O
радиуса x
прямоугольного треугольника ABC
с полупериметром p
касается катетов AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
в точках M
и L
соответственно, гипотенузы AB
— в точке K
, а вневписанная окружность с центром O_{B}
этого треугольника касается катета AC
в точке N
и продолжения катета BC
— в точке F
. Тогда CMOL
и CNO_{B}F
— квадраты. Из равенства
S_{\triangle ABC}=(p-AC)r=\frac{2}{3}r^{2}
(см. задачу 302) получаем, что
BK=BL=p-AC=\frac{2}{3}r
(см. задачу 219). Кроме того, AK=AM=CN=r
(см. задачу 4805). Значит,
BC=BL+LC=\frac{2}{3}r+x,~AC=AM+CM=r+x,
AB=AK+BK=r+\frac{2}{3}r=\frac{5}{3}r.
По теореме Пифагора
(r+x)^{2}+\left(\frac{2}{3}r+x\right)^{2}=\frac{25}{9}r^{2},~\mbox{или}~3x^{2}+5rx-2r^{2}=0,
откуда x=\frac{1}{3}r
. Следовательно,
BC=\frac{2}{3}r+\frac{1}{3}r=r,~AC=\frac{1}{3}r+r=\frac{4}{3}r.